Un angolo di diciotto gradi nel rettangolo aureo e l’innovativa costruzione del pentagono regolare

 

La Geometria piana elementare, quella che si studia nel corso degli anni scolastici, è un campo talmente esplorato da non immaginare possano essere segnalate ulteriori osservazioni. Quelle che seguono, tuttavia, riguardano un aspetto molto affascinante della storia di questa disciplina, cioè la sezione aurea e la costruzione del cosiddetto rettangolo aureo.

 

Come è noto, il rapporto aureo, che compare nell’arte e nella scienza (e nella natura) è implicito nella serie numerica di Fibonacci diventando origine di riflessioni matematiche anche molto complesse. Questo elaborato si limita alla constatazione, inedita, della presenza, nel rettangolo aureo, di un angolo di 18°, sottomultiplo di 36°, 54° e 72° legati alla costruzione di poligoni regolari come quelli di 20, 10 e cinque lati: il pentagono regolare.

 

La Figura 1 mostra la costruzione canonica del rettangolo aureo: disegnato il quadrato ABCD ed individuato E, punto medio di AB, si traccia un arco con centro in E ed apertura AC che interseca il prolungamento di AB nel punto F.  Il lato minore FG del rettangolo ABGF è sezione aurea del lato maggiore AF dello stesso rettangolo.

 

 

 

La dimostrazione della relazione

AF : AD = AD : (AF – AD) e cioè

AF : AD = AD : DF (dove AD = FG)

Dunque la relazione “FG sezione aurea di AF” viene facilmente dimostrata col sussidio dell’Algebra, tuttavia non risulta complessa una dimostrazione puramente geometrica.

Richiamata infatti la costruzione tolemaica che fa riferimento alle corde di una circonferenza, come nella seguente figura e relativa dimostrazione:

 

Dato un segmento AB, si conduce una la perpendicolare ad AB stesso dal punto B e si individua su questa il punto O tale che AB sia il doppio di BO. Si descrive la circonferenza con centro in O e raggio OB, tangente perciò ad AB nel punto B. Si unisce A con O intercettando sulla retta AO i punti C e D sulla circonferenza. Riportato il segmento AC su AB si determina il segmento AE. Questo è sezione aurea di AB, cioè AB : AE = AE : EB.

Infatti essendo congruenti gli angoli ABC e BDA (angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda CB), i due triangoli ACB e ADB sono simili, perciò:

AD : AB = AB : AC

Da cui scomponendo si ottiene:

(AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC

Ma siccome AB è congruente a CD e AC è congruente ad AE si ha pure:

AD – AB = AD – CD = AC = AE

AB – AC = AB – AE =EB

Perciò l’ultima proporzione diventa:

AE : AB = EB : AE

Da cui, invertendo: AB : AE = AE : EB

 

 

Il triangolo AOB coi lati in proporzione 1 : 2 mostra affinità col triangolo ECD (non completamente tracciato) della Figura 1 che a questa Figura 2 potrebbe adattarsi. Ebbene, se centrando nel punto O si tracciasse un arco di apertura OA che intersecasse il prolungamento di OB in un ipotetico punto B’, risulterebbe BB’ = AC = AE, perciò BB’ sezione aurea di AB. Immaginiamo un punto O’ sulla circonferenza, sul prolungamento di BO e ricordiamo che il diametro della circonferenza è congruente ad AB, allora si avrebbe:

AB : AE = AE : EB

BO’ : B’B = B’B : (BO’ – B’B)

B’B : BO’ = (BO’ – B’B) : B’B

(B’B + BO’) : BO’ = (BO’ – B’B + B’B) : B’B

B’O’ : BO’ = BO’ : B’B

corrispondente alla relazione AF : AD = AD : DF che così è dimostrata.

 

 

 

Ripresa la Figura 1 e unito E, punto medio di AD, con H, punto medio di BC si traccia l’arco con centro in F ed apertura FC fino ad intersecare in L il segmento EH.

 

 

  

Ebbene, è possibile dimostrare che l’angolo EFL misura 18° (il complementare GFL misura 72° - perciò è congruente con l’angolo esterno ai vertici del pentagono regolare).

Il procedimento che dimostra tale misura si trova in una riflessione più complessa e rivolta alla costruzione del triangolo euclideo i cui cateti sono lati dell’esagono e del decagono regolari, mentre l’ipotenusa è lato del pentagono, anch’esso regolare, tutti inscritti nella stessa circonferenza1.

 

Se l’angolo EFL misura 18°, ne consegue che con il prolungamento di GF oltre il punto F di una misura pari al lato di un Pentagono regolare di cui si voglia tracciare i lati, per esempio fino a un punto M, determina l’angolo MFL di 108° caratteristico angolo interno di quella figura geometrica.

Dunque, semplificando il procedimento, si potrebbe ottenere la seguente Figura 4 che non richiede eccessive interpretazioni (il punto G è segnalato per comprendere l’affinità della figura con il precedente rettangolo EHGF).

 

 

 

Infatti, tracciato il rettangolo DEHC coi lati in proporzione 1 : 2 e individuato il punto F (come in Figura 1), tracciando con centro in questo archi tutti di raggio congruente il lato del pentagono regolare desiderato, si ottengono i punti M ed N (per i successivi archi si conserva, per comodità, il raggio dell’arco). Puntando ancora in F e poi in N, i punti P e Q tra i quali si traccia un segmento di retta. Puntando in F ed M, il punto R. Tracciata la perpendicolare a MF dal punto R si intercetta O, centro del cerchio circoscritto al pentagono. Il resto della costruzione è ovvio.

 

Risulta evidente che tale costruzione del pentagono regolare a partire dal lato, seppure suggestiva, appare poco pratica perché non prevede il posizionamento “a priori” della base del pentagono regolare.

 

La constatazione di quell’angolo di 18° nella struttura del “rettangolo aureo” che consente, come si diceva pocanzi, la dimostrazione di correttezza di una peculiare costruzione del “triangolo euclideo”, porta invece ad un procedimento grafico per il disegno (con riga e compasso) del pentagono regolare, a partire dalla misura del lato, di sorprendente semplicità al confronto con le tecniche tradizionali finora adottate.

 

Quanto alla “costruzione” del triangolo euclideo, essa risulta talmente semplice da non richiedere figura esplicativa:

Dato un segmento AB di qualsivoglia lunghezza e che costituirà l’ipotenusa del triangolo euclideo, si alzi dal suo estremo destro B un segmento BC perpendicolare al primo e di misura congruente ad AB. Si unisca il punto medio D di AB con il punto C. Tracciata la semicirconferenza con centro C e raggio AC, questa interseca il segmento DC in un punto E. Si unisce E con gli estremi del primo segmento A e B ottenendo così il “triangolo euclideo”.

Ebbene, AEB è un triangolo euclideo in cui AB, ipotenusa, è lato di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio AE (cateto maggiore), a sua volta lato dell’esagono regolare inscritto nella stessa circonferenza, mentre il cateto EB (minore) è lato del decagono regolare inscritto nella medesima circonferenza degli altri due poligoni.

 

Da questa soluzione discende una innovativa (e sorprendentemente semplice) costruzione del pentagono regolare di lato AB, adatta all’uso didattico, come nella seguente figura:

 

 

 

Dato il segmento AB, lato desiderato del pentagono regolare, si traccia BC ad esso perpendicolare e si unisce C con D punto medio di AB. Un arco di circonferenza con raggio AD e centro in D intercetta il punto E sul segmento DC. Infine AE è il raggio della circonferenza in cui il pentagono cercato è inscritto per cui il centro O si individua tracciando due archi di circonferenza con tale raggio e centro rispettivamente in A e B. Tracciata la circonferenza se ne ottengono i lati, eventualmente dopo aver innalzato la perpendicolare per D e intercettato il vertice superiore del poligono.

 

 

 

Note

1    The Euclidean right triangle: remarks on the regular pentagon and the golden ratio  

      Lettera Matematica, (), 1-6

      DOI 10.1007/s40329-016-0145-1 - http://link.springer.com/article/10.1007/s40329-016-0145-1

 

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